بنابراین .
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
مجموعه محدب و باز است (۲.L)، پس یک تابع محدب با دامنه محدب و باز است. تابع روی ، به طور پیوسته سه بار طبق تعریف تابع خود هماهنگی مشتق پذیر است (با توجه به (۳.L)).
برای اثبات خود هماهنگی ، کافی است خواص مانع و نامساوی دیفرانسیلی (۲-۱) را بررسی کنیم.
خاصیت مانع به راحتی بدست می آید: اگر دنباله همگرا به نقطه y و دنباله از بالا کراندار باشد آنگاه توابع از بالا روی Q بطور یکنواخت کراندار است، بنابراین حد نقطه ای از بالا روی Q کراندار است. با توجه به تعریف ، که و چون باز است نتیجه می گیریم که هر دنباله همگرای نقاط در راستای از بالا کراندار است و همگرا به نقاط درونی است و این معادل خاصیت مانع است.
حال رابطه (۲-۱) را بررسی می کنیم. از (۳.L) برای هر h ثابتی داریم:
با مشتق گیری در x و در جهت g، بدست می آوریم:
قرار می دهیم و بدست می آوریم:
در نتیجه داریم:
به ازای هر h و که .□
۹- وجود مینیمم مقدار-ب :
تابع F به مینیمم خودش روی Q می رسد اگر و تنها اگر وجود داشته باشد بطوری که و به ازای هر x (با خاصیت آخر) داریم:
(۲-۱۶)
علاوه بر این به ازای مینیمم مقدار دلخواه F روی (یعنی ) و x بزرگتر داریم:
(۲-۱۷)
برهان: واضح است که اگر F به مینیمم خودش روی Q برسد طبق (۷)، متناهی است و در هر مینیمم مقدار x.
برای اثبات عکس آن همان اثبات (۷) را داریم و می توان با در نظر گرفتن ناتباهیدگی F اثبات را داشته باشیم.
فرض کنیم x به گونه ای باشد که و . با توجه به (۳.L) داریم:
(۲-۱۸) چون است، صفر به بیضی باز دیکن به مرکز y تابع خود هماهنگ تعلق دارد. در نتیجه در دامنه ی این تابع قرار می گیرد (با توجه به خاصیت ۲). از (۸) می دانیم که این دامنه شامل مقادیر گرادیان F در نقاط Q است: بنابراین وجود دارد به طوریکه . پس F به مینیمم مقدارش روی Q می رسد.
با توجه به رابطه (۲-۴) و (۲-۱۸) داریم:
چون و و با توجه به (۱.L) داریم:
و بنابراین:
حال قرار می دهیم:
با توجه به (۲-۱۸) و ، بردار دلخواه z را در نظر می گیریم:
[از رابطه (۲-۳) داریم که ]
با جایگذاری ، می رسیم به :
که همان رابطه (۲-۱۷) است .□
۱۰) روش میراشده نیوتن[۲۵] (همگرایی مرتبه دوم):
فرض کنیم متناهی باشد و . اگر تکرار میراشده نیوتن x باشد آنگاه:
(۲-۱۹)
همچنین، اگر آنگاه F به مینیمم مقدارش روی Q می رسد؛ و برای هر مینیمم مقدار F (یعنی ) داریم:
(۲-۲۰)
(۲-۲۱)
برهان: برای اثبات (۲-۱۹) با توجه به اینکه e جهت نیوتون F در x است، قرار می دهیم:
تابع:
روی بطور پیوسته دو بار مشتق پذیر است. بنابراین:
با توجه به نامساوی اساسی داریم :
( با توجه به (۲-۲) و )
و: