یک تابع عمق داده شده، اطلاعات مفیدی روی متغیر عمق به طور مناسبی توسط تابع چندکی، ، از عمق تابع توزیع تک متغیره، می دهد.
سطح کرانه عمق که یک ناحیه ی بیرونی با احتمال بزرگتر یا مساوی را مشخص می کند به ما می دهد و آماره ی L^[8] برای و میانه و برد میان چارکی عمق بعنوان یک متغیر تصادفی را می دهد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

یک تابع چندکی مناسب به فرم (۵-۱) با کلاس از ناحیه های بیرونی و را معرفی می کنیم:
مثال : برای تابع عمق نیم فضا در حالت داریم:
(۵-۲)
بنابراین:
رابطه ۵-۲ به صورت زیر بدست می آید. بدین منظور قرار دهید:
آنگاه:
فصل ششم
آماره های مکان و مقیاس در
۶-۱- مقدمه
آماره های مکان و مقیاس اساس استنباط یک متغیره هستند و بسط آنها به حالت چند متغیره چندان آسان نیست. در ادامه به بررسی این آماره ها در حالت چند متغیره می پردازیم.
۶-۲- آماره مکانی L در
تعریف ۶-۱- آماره های L
آماره L عبارت است از یک ترکیب خطی از آماره های ترتیبی در یک مجموعه از داده ها. میانه نمونه ای و میانگین نمونه ای و میانگین بریده شده مثال هایی از این آماره ها هستند.
۶-۲-۱- آماره مکانی L براساس توابع چندکی
فرض کنید یک تابع چندکی باشد. برای هر ، تابع
(۶-۱)
که میانگین نقاط روی کرانه ی ناحیه ی درون چندکی ام است، یک اندازه برای مکان را ارائه می دهد. ممکن است میانگین های نقاط ناحیه ی درون چندکی ام با میانه ی متفاوت باشد، اما اگر حول مرکز متقارن باشد و برای هر و ،
و آنگاه .
یک میانگین وزنی از برای هر اندازه احتمال روی منجر به حالت کلی تری از آماره مکان L می شود.
(۶-۲)
که تابع چندکی ام از نوع آماره های تک متغیره می باشد.
امین میانگین بریده شده در ارتباط با اندازه زیر تعریف می شود:
و دارای تفسیر زیر است:

1. 1. میانگین X روی ناحیه ی درون چندکی ) ام می باشد.

1. 1. برای حالت =۰ میانگین بدست می آید.

1. 1. برای حالت =۱ یعنی ، میانه () حاصل می شود.

۶-۲-۲- آماره مکانی L براساس توابع عمق
وقتی در رابطه (۶-۱) بر اساس تابع عمق بدست آمده باشد و دارای تابع چگالی باشد ، آنگاه بدست آمده از رابطه (۶-۲)، آماره مکانی L بر اساس تابع عمق است. برای مطالعه بیشتر به مقاله لیو، پارلیوس و سینگ (۱۹۹۹) مراجعه کنید.
اگر حول متقارن باشد و بطور متقارن وقتی به طرف حرکت می کند کاهش یابد آنگاه
بر اساس یک فرمول مناسب دیگر ، حالتهای تابعی براساس عمق، یک تابع وزنی را ایجاد می کند که روی برد تابع عمق تعریف شده است:
(۶-۳)
بطور ضمنی به نظر می رسد که (۶-۳) یک حالت خاص بدست آمده از مراحل بالا است که توسط رابطه زیر داده شده است:
تعریف ۶-۲- چندک های
چندک ام چند متغیره ی تعریف شده در بخش ۳-۳-۱ برای ۲ ممکن است از طریق معکوس یک نگاشت دیده شود. برای متغیر تصادفی که یک توزیع اکیدا پیوسته در دارد، (چندک ام) از جواب منحصر به فرد از برابری حاصل می شود:
(۶-۴)
بنابراین یک چندک توزیع روی است. برای توزیع قبلی به یک نگاشت ساده ی تابع توزیع متغیر تصادفی تنزل می یابد. برای تعمیم به ابعاد بالاتر ، تابعک و برآوردگرهای ، یک نظریه عمومی برای توزیع های و چندک های را فراهم می کنند. در توزیع های ، پارامتر وجود دارد و برآورد پارامترهای آنها و محاسبه چندک در این حالت منجر به تولید چندک می شود. تعریف دقیق چندک از حوصله این پایان نامه خارج است و برای مطالعه بیشتر می توانید به مقاله کولچینسکی^[۹] مراجعه کنید.
برآوردگرهای : برآوردگرهای بر اساس یک تابع (مانند )که در شرایط و و غیر ثابت، پیوسته و غیر نزولی در ، صدق کند ساخته می شود و برابر است با
برای پارامتر مقیاس
برای پارامتر مکان
که مجموعه کلیه برآوردگرهای مورد نظر است، واضح است که برآوردگرهای وابسته به تابع می باشند.
۶-۲-۳- آماره L مکانی براساس چندک های
در سال ۱۹۹۷، کولچینسکی بر اساس تابع چندکی ، ، تابعک چند متغیره را که در آن یک اندازه مشخص روی با تغییرات متناهی و یک تابع برداری است تعریف کرده است بطوریکه انتگرال پذیر باشد.