• مسائل مهندسی بسیار پیچیدهتر از آن است که بتوان رابطه بین ورودیها و خروجی ها را به فرم ماتریسی بیان کرد.

• • • در برخی مسائل تعداد مجهولات بسیار زیاد است. بنابراین فرم ماتریسی راه حل مؤثری برای حل مسأله به شمار نمیرود.

  ( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

به همین دلیل در ادامه تنها به شرح فرمولبندی تابعی اکتفا میکنیم. همانطور که اشاره شد اینگونه از مسائل اغلب با بهره گرفتن از فرمهای تابعی، فرمولبندی میشوند.

(3-11)

که در آن و بردارهایی هستند که به ترتیب شامل تمام خروجی ها و ورودیها هستند. همچنین یک سیستم ماتریسی است که تابعی از تمامی بردارهای پارامتری و است. حال فرض بر این است که خروجی های سیستم میتواند توسط روشهایی همچون انجام آزمایشات تجربی، اندازه گیری شوند و بدست آیند. در اینگونه مسائل، هدف محاسبه ورودیهای سیستم است. به عبارت دیگر بردارهای و در مسأله مستقیم به ترتیب خروجی و ورودی مسأله محسوب میشوند، ولی در مسأله معکوس، ورودی و خروجی مسأله محسوب میشود. در راستای محاسبه ، تابعی به فرم مجموع مربعات^[109] به شکل زیر تعریف میشود:

(3-12)

که در آن بردارهای و به ترتیب شامل داده های (خروجی های) اندازه گیری شده و محاسباتی^[110] هستند. همچنین بردار همان پاسخ مسأله معکوس است، که در اینجا هدف یافتن این بردار است. نیز تعداد تمام داده های اندازه گیری شده است. واضح است که اگر باشد، آنگاه است و همچنین برای هر مقدار ، تابع خواهد بود. و احتمالاً یک میتوان یافت که برای آن تابع کمینه شود. بنابراین میتوان اینطور بیان کرد که اگر کمینه تابع قابل یافتن باشد آنگاه حداقل یکی از تقریبهای  را میتوان یافت. به عبارت دیگر مسأله معکوس به یک مسأله بهینه سازی برای یافتن بردار مجهول که براساس آن مقدار تابع به مقدار کمینه خود برسد، تبدیل شده است.
3-5-انتخاب خروجی ها
برای انجام تحلیل معکوس نیاز است که از برخی از خروجی های مسأله مستقیم تحت عنوان بردار برای ساختن تابع هدف استفاده شود. در مسائل مکانیکی، خروجی میتواند جابجایی، سرعت، شتاب نقاطی از سازهای باشد که به وسیله نیروهای هارمونیک و گذرا تحریک شده است. همچنین این خروجی ها میتوانند مقادیر ویژه^[111] و یا بردارهای ویژه^[112] یک سازه باشند که به وسیله تحلیل مودال بدست آمدهاند. نوع خروجی مورد استفاده بایستی براساس شرایط مسأله انتخاب شود. سه نکته اساسی برای انتخاب خروجی ها باید در نظر گرفته شود:

• حساسیت: بایستی مطمئن شد که خروجی های انتخاب شده به اندازه کافی نسبت به ورودیهای مسأله حساس باشند.

• دقت: بایستی مطمئن شد که خطاهای موجود در داده های اندازه گیری شده میتواند به خوبی کنترل شود، به طوری که خروجی دارای دقت خوبی باشد.

• سهولت دستیابی: بایستی مطمئن شد که خروجی ها را بتوان به راحتی و با هزینه های مقرون به صرفه بدست آورد.

انواع مختلف خروجی ها (از قبیل جابجایی، سرعت، شتاب و …) را میتوان به روش های متفاوتی به عنوان خروجی مسأله برای تشکیل تابع هدف در نظر گرفت. یکی از روش های ساده این است که پارامترهای مختلفی را که میتوان به عنوان خروجی در نظر گرفت را تحت عنوان خروجی مسأله با وزنهای مناسب برای تشکیل یک تابع هدف یگانه^[113] با یکدیگر ترکیب کرد. یکی از روش های دیگر این است که توابع هدف چندگانهای^[114] را فرمولبندی کرد که بتواند به وسیله روش های بهینه سازی، در چند مرحله و یا به طور همزمان به پاسخ مسأله برسد.
3-6-هموارسازی برای مسائل بدنهاده
در قسمتهای قبل نشان داده شد که برخی از مسائل معکوس میتوانند بدنهاده باشند که این بدنهادگی به ناپایداری و عدم یکتایی پاسخها منجر میشود. بنابراین در اینگونه مواقع، رسیدن به پایداری در پاسخها با هزینه مناسب (هزینه های اقتصادی و زمانی) بر حسب دقت و کارآمدی پاسخها، مسأله اساسی است. پایدار کردن حل در حالتی که کمترین هزینه را در بر داشته باشد، وظیفه یک روش هموارسازی به شمار میرود. روش های مختلفی برای هموارسازی در مسائل سازهای ارائه شدهاند [10، 88-83] که در زیر به برخی از آنها اشاره شده است:

• هموارسازی تیخونوف^[115]

• هموارسازی به وسیله تجزیهسازی مقدار منفرد^[116]

• روش های هموارسازی تکراری^[117]

• هموارسازی به وسیله گسستهسازی یا تصویرسازی^[118]

• هموارسازی به وسیله فیلتر کردن^[119]

چهار روش اول توسط انگل^[120] و همکارانش [84] به خوبی شرح داده شده است. تکنیکهای کاربردی برای اجرای دو روش اول توسط سانتامارینا و فراتا^[121] [85] ارائه شده است.
فیلتر کردن یک روش رایج برای حذف خطاها در داده های اندازه گیری در آزمایشات تجربی به شمار میرود. از آنجایی که اغلب بدنهادگیهای بوجود آمده در مسائل معکوس ناشی از خطاهای داده های آزمایشگاهی هستند، طبیعتاً حذف این خطاها مؤثرترین و کاربردیترین روش برای پایدار کردن حل یا کاهش بدنهادگی مسأله به شمار میرود. علاوه بر این، این روش برای انواع بدنهادگیها مؤثر است. مرجع [10] به طور مفصل در خصوص این روش بحث کرده است و به حل مثالهای متعددی با بهرهگیری از این روش به عنوان روش هموارسازی، پرداخته است.
در میان این روش های هموارسازی، هموارسازی به روش تیخونوف یکی از پرکاربردترین روشها به شمار میرود. همانگونه که قبلا نیز اشاره شد یکی از عوامل بدنهادگی در مسائل معکوس اطلاعات ناکافی و یا غیرحساس میباشد، یک روش هموارسازی مناسب بایستی بر مبنای استفاده از اطلاعات اضافی در جهت پایدار کردن پاسخ تحلیل معکوس عمل کند. روش هموارسازی تیخونوف بر همین مبنا عمل میکند.
مسائل معکوس مهندسی کاربردی اغلب غیرخطی و دارای بعد بالا هستند. بنابراین بسیار مشکل است که یک روش هموارسازی کلی را توسعه داد تا بتواند برای تمامی مسائل بدنهاده کارساز باشد. بکارگیری و اجرای یک هموارسازی مناسب، نیازمند یک درک و فهم درست از طبیعت و ذات بدنهادگی مسأله معکوس است. همچنین روشن است که همیشه پیشگیری بهتر از درمان است. برخی از روش های پیشگیری از بوجود آمدن بدنهادگی به شرح زیر هستند:

• همیشه در یک فرایند معکوس نخستین تلاش، کاهش تعداد پارامترهای مجهولی است که قرار است به روش معکوس شناسایی شوند. همچنین محدودهای را که قرار است پارامترهای مجهول در آن شناسایی شوند، تا حد ممکن بایستی کاهش داد.

• برای کاهش بدنهادگی نوع ، بایستی حداقل، تعداد معلومات (داده های اندازه گیری شده) مسأله معکوس از تعداد مجهولات (پارامترهایی که قرار است به روش معکوس شناسایی شوند) بیشتر باشد. به عبارت دیگر مسأله حداقل از نوع مسائل همنهاده باشد، در عین حال بایستی تلاش شود که مسأله را به یک مسأله فرانهاده تبدیل کرد.

• برای کاهش بدنهادگی نوع ، بایستی مطمئن شد که حساسیت بالایی بین معلومات و مجهولات برقرار است. پارامترهای مجهول بایستی بر روی معلومات مسأله تأثیرگذاری قابل توجهی داشته باشند و در صورت امکان هر پارامتر مجهول مستقلاً بر معلومات اثرگذار باشد.

• فیلتر کردن داده های اندازه گیری شده قبل از بکارگیری آنها در تحلیل معکوس میتواند به شدت بر کاهش بدنهادگیها اثرگذار باشد.

• استفاده از اصل عدم تطابق^[122] به عنوان معیار توقف^[123] در تحلیل معکوس باعث پرهیز از تحریک بدنهادگیها میشود.

• به عنوان آخرین راه حل، استفاده از هموارسازی به روش تیخونوف برای بازگرداندن پایداری به پاسخ تحلیل معکوس پیشنهاد میشود.