(۲-۱۰)
که علامت تساوی، منحنی­های مشخصه یا مرزها را در فضای چند بعدی می­دهد.
۲-۲ معادله متی­یو:
برای دستگاه­هایی که به صورت سینوسی کار می­ کنند معادله متی­یو به کار می­رود و معادلات ساده می­شوند. به علت برقراری روابط ، برای محاسبه ضرایب بسط در نواحی پایدار، مقادیر را در معادله (۲-۵) قرار می­دهیم که چون ، داریم]۶و۷ [ :

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۲-۱۱)
(۲-۱۲)
معادله ۲-۱۱ را می­توان به سادگی مرتب کرد:
(۲-۱۳)
بنابراین:
(۲-۱۴)
با قرار دادن ۱-n به جای n در معادله (۲-۱۱) و مرتب کردن آن، دومین رابطه به صورت زیر بدست می آید:
(۲-۱۵) …
بنابراین، برای a و q داده شده و با بکار بردن معادله (۲-۹) و با دترمینانی که مطابق با معادله متی­یو ساده شده و متناسب با دقت آن، را می­توان به­دست آورد. معادله (۲-۱۴) به ازای و معادله (۲-۱۵) به ازای ، برای با به کار بردن جملات منفی محاسبه شده ­اند. تا وقتی که قدرت جواب­های متوالی کم­تر از مقدار مشخص شده باشد. بنابراین ماهیت حرکت یون به طور کامل از مقادیر و مشخص می­ شود همچنین فرکانس اصلی حرکت یون ترکیبی از فرکانس­های بالاتر و عوامل وزن نسبی آن­ها مشخص می­ شود.
روش­های تقریبی متعددی برای تعیین می­توان در منابع علمی پیدا کرد. ساده­ترین تقریب از این قرار است[۷]:
(۲-۱۶)
و تقریب دقیق­تر به صورت زیر است:
(۲-۱۷)
جداولی از مقادیر برای نواحی پایداری پایین­تر وجود دارد.
در حال حاضر، روش­های تحلیلی عموماً به وسیله راه­های دینامیکی فضای فاز جایگزین شده ­اند.
بعضی مقادیر ضرایب بر حسب مقادیر به ازای در شکل (۲-۲) نشان داده شده است. که برکلینگ با به کار بردن معادلاتی مانند (۲-۱۳) و (۲-۱۴) آنها را محاسبه کرده است.
مقادیر مشخصه (مرزهای پایداری) برای نواحی پایداری پایین­تر به صورت زیر به دست آمده­اند:
(۲-۱۸) (a)
(b)
۲-۳ روش ماتریسی:
این روش که بر پایه قضیه جبر ماتریسی سیلوستر قرار دارد، برای حل معادلات دیفرانسیل و هیل به کار رفته است.
این روش راه حل معادله (۲-۱) را کاهش می­­دهد و برای حل بسیاری از مسائل فیزیکی قابل کاربرد است. در حل مسائل مدار اولیه، روش ماتریسی برتری­های مسلمی نسبت به روش­های قضیه­ی فلوکت در حل معادله هیل به کار برده است، خواهد داشت. این روش از نظر زمان محاسبه نسبت به انتگرال­گیری نقطه به نقطه خیلی اقتصادی­تر است. این روش در تجزیه و تحلیل بر اساس دینامیک فضای فاز کاربرد مهمی دارد. ریچارد، هوی، و هیلر [۸] از روش ماتریسی در حل معادلات مربوط به صافی جرمی با موج مربعی استفاده کردند. باریل نشان داد [۹] که استفاده از ماتریس به طور عمومی در مورد دستگاه­های چهارقطبی که به صورت سینوسی کار می­­کنند مفید است به ا ین صورت که سری تیلور که شامل n امین مشتق مکان یون یعنی u بود را برای محاسبه عناصر ماتریس بکار بردند و پایپ نیز که موج سینوسی را در نظر گرفته است با تقسیم موج به تعداد زیادی موج مربعی، این ماتریس را محاسبه کرده است.
فرض کنید و دو جواب مستقل خطی معادله زیر در بازه باشند.
(۲-۱۹)
مقدار x(t) و مشتق اول آن را می­توان به شکل زیر بیان کرد (۲-۲۰)
می­توانیم داشته باشیم:
(۲-۲۱)
و ثوابت اختیاری هستند و نیز
(۲-۲۲)
رونسکین دو جواب و در بازه ثابت است و با دترمینان زیر داده می­ شود:
(۲-۲۳)
چون دو جواب و مستقل خطی­اند و ماتریس (۲-۲۲) تکنیه نیست و معکوس آن به شکل زیر است:
(۲-۲۴)
اگر و مقادیر اولیه x(t) و v(t) در باشند و علامت­گذاری زیر را بکار ببریم:
(۲-۲۵)
از معادله (۲-۲۱) خواهیم داشت:
(۲-۲۶)
(۲-۲۷)
که این رابطه ثابت­های اختیاری را بر حسب شرایط اولیه داده شده تعیین می­ کند. اگر رابطه (۲-۲۷) را در (۲-۲۱) قرار دهیم نتیجه­ای به صورت زیر حاصل می­ شود:
(۲-۲۸)
بسط جواب به خارج از بازه بوسیله ضرب ماتریس­ها امکان­ پذیر است. اگر یک تغییر متغیر به شکل زیر در معادله هیل (۲-۱۹) انجام دهیم:
(۲-۲۹) که
معادله هیل به شکل زیر تبدیل می­ شود:
(۲-۳۰)